不等式と領域

問題

連立不等式

の表す領域を図示せよ。

解説

不等式と領域の問題について解説します。

不等式が表す「領域」ってどういうことですか？

方程式$y = 2x - 1$は直線を表すよね。

不等式$y > 2x - 1$は、その直線の上側か下側の領域（平面上の部分）を表すんだ。

この問題は2つの不等式の共通部分を図示する問題だね。

1つずつ見ていこう！

まず$y > 2x - 1$が表す領域を考えよう。

まず境界線である直線$y = 2x - 1$を図示します。

次に、不等式$y > 2x - 1$がどちら側の領域を表すか判定します。

上側か下側か、どうやって判定するんですか？

簡単な点を代入してみるといいよ。

原点$(0, 0)$を代入してみよう！

原点$(0, 0)$を不等式$y > 2x - 1$に代入すると、

$0 > -1$ ...これは成り立つ！

よって、原点を含む側、つまり直線$y = 2x - 1$の上側が領域です。

不等号が$>$（等号なし）なので、境界線（直線）は領域に含まれないよ。

図では境界線を点線で書くことが多いね。

次に$x^2 + y^2 \leqq 4$が表す領域を考えよう。

境界線は円$x^2 + y^2 = 4$（中心が原点、半径$2$の円）です。

$x^2 + y^2 \leqq 4$は$x^2 + y^2 \leqq 2^2$なので、円の内部を表します。

なぜ内部だと分かるんですか？

$x^2 + y^2$は原点からの距離の2乗だよね。

だから$x^2 + y^2 \leqq 4$は「原点からの距離が$2$以下」、つまり円の内部だね！

確認のため、原点$(0, 0)$を代入すると、

$0^2 + 0^2 = 0 \leqq 4$ ...成り立つ！

原点は円の内部なので、円の内部が領域です。

不等号が$\leqq$（等号あり）なので、境界線（円周）は領域に含まれるよ。

図では境界線を実線で書くよ。

最後に、2つの領域の共通部分を図示しよう！

連立不等式の領域は、それぞれの不等式が表す領域の共通部分です。

したがって、求める領域は

• 直線$y = 2x - 1$より上側

• 円$x^2 + y^2 = 4$の内部（周を含む）

の共通部分となります。

境界線はどう書けばいいですか？

直線は$>$なので点線（境界を含まない）、円周は$\leqq$なので実線（境界を含む）で書こう。

領域の部分は斜線を引くといいよ！

ここでは不等式と領域について学習しました。

領域の問題では、まず境界線を図示し、代入によって上側・下側（内部・外部）を判定することがポイントです。

境界線を含むかどうかの表現（実線・点線）も忘れずに！