定点を求める問題②

問題

$a$を定数とするとき、曲線$y=-x^3+ax^2+(5-2a)x+a$が$a$の値にかかわらず通る定点を求めよ。

解説

定点を求める問題について解説します。

「$a$の値にかかわらず」とあったら$a$について整理すればいいんでしたね！

その通り！いつでもその解法が思い浮かぶようになればバッチリだね。

[定点を求める問題①]でも扱ったように、以下の方針で解いていきましょう。

1. $a$について式を整理する
2. 任意の$a$に対して成り立つときを考える（恒等式）

それでは問題を解いていきます！

$y=-x^3+ax^2+(5-2a)x+a$を$a$について整理すると$a(x^2-2x+1)+(-x^3+5x-y)=0$となります。

次に$a(x^2-2x+1)+(-x^3+5x-y)=0$が任意の$a$で成り立つ場合を考えます。

$a$がどのような値でも左辺が$0$となるためには、

が成り立てばよいですね。

①より$(x-1)^2 = 0$よって $x = 1$

②に$x=1$を代入して、$y=4$

よって求める定点は$\underline{(1,4)}$となります。

ここでは定点を求める問題について解説しました。

「定点を求める問題」の解法が理解できましたか？

ぜひマスターしてくださいね！