定点を求める問題①

問題

$k$を定数とするとき、直線$(2k+3)x+(k-2)y-7=0$は$k$の値にかかわらず定点を通る。その定点の座標を求めよ。

解説

定点を求める問題について解説します。

この問題、どういう意味なのかいまいち分かりません。

$k$は定数だから、たとえば$k=0$としてみよう。どのような式が得られるかな？

$3x-2y-7=0$という直線が得られます。

そうだね。問題文には「$k$の値にかかわらず」と書いてあるから次に$k=1$としてみよう。

$k=1$のときは$5x-y-7=0$になります。

そうだね。2つの直線の式が得られたけれど、$k$の値にかかわらず定点を通るということはどういうことか分かるかな？

定点はこの2つの直線の交点ということですか？

そうなるね。2直線の交点を求めたかったどのように求めようか？

連立方程式として解けば交点の座標が求められそうです。

その通り。だけどこの問題はもっと簡潔な方法があるんだ。その方法を今から紹介するね。

$k$の値を適当に代入して具体的な2直線の式を求めてそれらを連立して求める方法については、最後に別解として紹介します。

まず、「$k$の値にかかわらず」という単語をみたら$k$で式を整理するんだ。

$k$で整理すると、$(\underline{2x+y})k+\underline{3x-2y-7}=0$となります。

この式が$k$の値にかかわらず常に成り立つときを考えてみよう。

$k$がどんな定数でも左辺を$0$にするためには、

$$\left\{ \begin{array}{l} 2x+y=0 \\ \\ 3x-2y-7=0 \end{array} \right.$$

となれば良いですね。

この2つの式を連立方程式として解くと、$x=1,y=-2$となります。

よって、定点の座標は$\underline{(1,-2)}$

つまり、「$k$の値にかかわらず」というような単語が出てきたら次のように考えればいいんだ。

1. $k$について式を整理する
2. 任意の$k$に対して成り立つときを考える（恒等式）

最後に、はじめに考えた解法である具体的な2直線を求め交点を考える方法について紹介するね。

交点の座標を求めただけでは$k$の値にかかわらず成り立つことにはならないことに注意してね。

ここでは定点を求める問題について解説しました。

2通りの解法を紹介しましたが、はじめに紹介したkについて整理して恒等式として解く方がスマートで簡潔に解けます。

色々な問題を解いてマスターしてくださいね！