円の接線

問題

原点を通り円$(x-5)^2+y^2=9$に接する直線の方程式を求めよ。

解説

円の接線の問題を解説します。

接線は原点$(0,0)$を通るから円外の点から引かれているね。

円外の点から接線を引くときは$2$つの接線があるから問題をみた段階でそのことを意識しておこう。

ここで円の接線の公式を確認しておきます。

これらをふまえた上で、この問題は次のような方針で解けるね。

1. 接点を文字でおく
2. 接線の方程式を立てる
3. 接点となる条件と点を通る条件を考える
4. 出てきた式を解く

接点を文字でおくことは基本だから何も考えなくてもできるようになっておこう。

それでは問題を解いていきます。

まずは接点を文字でおきましょう。ここでは接点を$(s,t)$とします。

円$(x-5)^2+y^2=9$上の点$(s,t)$における接線の方程式は$(s-5)(x-5)+ty=9\cdots ☆$と表せます。

次に接点となる条件と点を通る条件を考えましょう。

接点となる、つまり点$(s,t)$は円$(x-5)^2+y^2=9$上の点なので$(s-5)^2+t^2=9$を満たします。

また、接線の方程式である$☆$は原点$(0,0)$を通るため、$☆$で$x=0,y=0$として$(s-5)(0-5)+0\cdot t=9$

これを解いて$s=\frac{16}{5}$となります。

$(s-5)^2+t^2=9$に$s=\frac{16}{5}$を代入して$t^2=\frac{144}{25}$よって$t=\pm \frac{12}{5}$となります。

接点の座標$(s,t)=\left(\frac{16}{5},\pm \frac{12}{5}\right)$と分かりますね。

問題を見た段階で接線が2つあることをイメージできていれば、接点が2つあることで正しく求められていそうだなと少し安心できるね。

接点の座標をそれぞれ接線の方程式である$(s-5)(x-5)+ty=9$に代入することにより求める接線の方程式は$y=\underline{\frac{3}{4}x,-\frac{3}{4}x}$となります。

ここでは円の接線の問題について解説しました。

接点の座標を文字でおくのはすごく基本的なテクニックなので確実にできるようになっておきましょう。