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図形と方程式

円と直線の位置関係

中心からの距離と半径の比較

図形と方程式の「円と直線の位置関係」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「中心からの距離と半径の比較」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約9分 難易度 2 図つき

このページのまとめ

先に押さえておくこと

円と直線の位置関係の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。

  • テーマ: 中心からの距離と半径の比較
  • ポイント: 図形と方程式の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

円x2+y2=9x^2+y^2=9と直線y=x+ky=x+kについて、次の問いに答えよ。

(1)(1)\quad 円と直線が接するときのkkの値を求めよ。

(2)(2)\quad 円と直線の共有点の個数をkkの値によって分類せよ。

答えを見る

(1)  (1)\; k=±32‾k=\underline{\pm 3\sqrt{2}}

(2)  (2)\; ∣k∣<32|k|<3\sqrt{2}のとき：2個‾\underline{2個}

    \quad\;\; ∣k∣=32|k|=3\sqrt{2}のとき：1個‾\underline{1個}（接する）

    \quad\;\; ∣k∣>32|k|>3\sqrt{2}のとき：0個‾\underline{0個}

解説

円と直線の位置関係の問題について解説します。

円と直線の共有点の個数って、どうやって調べるんですか？

いい質問だね！大きく分けて2つの方法があるよ。

1つ目は「中心から直線への距離」を使う方法、2つ目は「判別式」を使う方法だ。

今回は、中心から直線への距離を使う方法を中心に解説します。

なるほど！中心と直線の距離が半径より短ければ交わるんですね。

その通り！図をイメージすると分かりやすいね。グラフで確認してみよう。

k=2 k=2 -4-2024 -4-224

この場合は円と直線が2点で交わっていますね！

中心から直線への距離（垂線の長さ）が半径より短いからですね。

円x2+y2=9x^2+y^2=9と直線y=x+ky=x+kについて、

(1)(1) 円と直線が接するときのkkの値を求めよ。

まず、円x2+y2=9x^2+y^2=9の中心と半径を確認します。

中心は原点(0,0)(0,0)、半径はr=3r=3ですね。

次に、直線y=x+ky=x+kを一般形に直します。

x−y+k=0x-y+k=0

点と直線の距離の公式を使って、原点(0,0)(0,0)から直線x−y+k=0x-y+k=0への距離ddを求めます。

d=∣1⋅0+(−1)⋅0+k∣12+(−1)2d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + k|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}
=∣k∣2= \frac{|k|}{\sqrt{2}}

接するとき、d=rd=rだったね。

接する条件d=rd=rより、

∣k∣2=3\frac{|k|}{\sqrt{2}} = 3
∣k∣=32|k| = 3\sqrt{2}
k=±32‾k = \underline{\pm 3\sqrt{2}}

接する場合のグラフを見てみよう。k=32≈4.24k = 3\sqrt{2} \approx 4.24のときだよ。

k=3/2 k=3/2 -4-2024 -4-224

接するときは交点が1つだけですね！

中心から直線への距離がちょうど半径と等しくなっています。

(2)(2) 円と直線の共有点の個数をkkの値によって分類せよ。

d=∣k∣2d=\frac{|k|}{\sqrt{2}}、r=3r=3より、

  1. d<rd < r すなわち ∣k∣2<3\frac{|k|}{\sqrt{2}} < 3 のとき ⇒\Rightarrow ∣k∣<32|k| < 3\sqrt{2} のとき：2個‾\underline{2個}
  2. d=rd = r すなわち ∣k∣2=3\frac{|k|}{\sqrt{2}} = 3 のとき ⇒\Rightarrow ∣k∣=32|k| = 3\sqrt{2} のとき：1個‾\underline{1個}
  3. d>rd > r すなわち ∣k∣2>3\frac{|k|}{\sqrt{2}} > 3 のとき ⇒\Rightarrow ∣k∣>32|k| > 3\sqrt{2} のとき：0個‾\underline{0個}

(1)の判別式を使う方法も知りたいです！

いいね！比較のために判別式を使った解法も見ておこう。

y=x+ky=x+kをx2+y2=9x^2+y^2=9に代入すると、

x2+(x+k)2=9x^2+(x+k)^2=9
x2+x2+2kx+k2=9x^2+x^2+2kx+k^2=9
2x2+2kx+k2−9=02x^2+2kx+k^2-9=0

この2次方程式の判別式DDは、

D=(2k)2−4⋅2⋅(k2−9)D = (2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2-9)
=4k2−8k2+72= 4k^2 - 8k^2 + 72
=−4k2+72= -4k^2 + 72
=−4(k2−18)= -4(k^2 - 18)

接するときD=0D=0より、

k2−18=0k^2 - 18 = 0、k=±32k = \pm 3\sqrt{2}

同じ答えが得られました。

どちらの方法でも解けるけど、「距離の方法」の方が計算がシンプルなことが多いよ。

ただし、接点の座標を求めたい場合は判別式の方法が便利だね。

このページのまとめ

ここでは円と直線の位置関係について学習しました。

「中心からの距離と半径の比較」という方法は、円の接線を求める問題でも使われる重要な考え方です。

両方の解法を使い分けられるようにしておきましょう！

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