円の方程式

問題

$(1)\quad$ 3点$\mathrm{A}(0, 0)$, $\mathrm{B}(6, 0)$, $\mathrm{C}(0, 4)$を通る円の方程式を求めよ。

$(2)\quad$ 円$x^2+y^2=5$と直線$y=x+3$の共有点の個数を求めよ。

解説

円の方程式の応用について解説します。

3点を通る円の方程式ってどうやって求めるんですか？

いい質問だね。円の方程式の「一般形」を使うのがポイントだよ。

また、円と直線の位置関係は判別式で調べることができるんだ。順番に見ていこう！

一般形は未知数が$l, m, n$の3つだから、3点の座標を代入すれば連立方程式で求められるよ。

それでは問題を解いていきましょう。

まず、3点の位置を確認しましょう。

3点を通る円の方程式を求めるには、一般形$x^2+y^2+lx+my+n=0$に3点の座標を代入して$l, m, n$を求めるんだ。

3点の座標を一般形に代入します。

点$\mathrm{A}(0, 0)$を代入：$0+0+0+0+n=0$

よって $n=0$ $\cdots$ (i)

点$\mathrm{B}(6, 0)$を代入：$36+0+6l+0+n=0$

よって $6l+n=-36$ $\cdots$ (ii)

点$\mathrm{C}(0, 4)$を代入：$0+16+0+4m+n=0$

よって $4m+n=-16$ $\cdots$ (iii)

(i)より$n=0$なので、(ii)に代入すると$6l=-36$より$l=-6$

(iii)に代入すると$4m=-16$より$m=-4$

原点を通るから$n=0$になって、計算が楽になりましたね！

そうだね。でも原点を通らない場合でも、連立方程式を解くだけだから同じ手順だよ。

よって一般形は $x^2+y^2-6x-4y=0$ です。

これを標準形に変形しましょう。$x$と$y$についてそれぞれ平方完成します。

中心$(3, 2)$、半径$\sqrt{13}$の円であることがわかりますね。

3点がちゃんと円周上にあることをグラフで確認できるね。

直線の式を円の方程式に代入して、判別式を調べてみよう。

$y=x+3$を$x^2+y^2=5$に代入すると、

この2次方程式の判別式を調べると、

$D>0$なので、共有点の個数は$\underline{2}$個です。

判別式が正だから2点で交わるんですね！実際の交点も求められますか？

もちろん！$x^2+3x+2=0$を解くと$(x+1)(x+2)=0$より$x=-1, -2$だね。

$y=x+3$に代入すると交点は$(-1, 2)$と$(-2, 1)$だよ。

グラフを見ると、確かに円と直線が2点で交わっていることがわかるね。

判別式を使えば、実際に交点を求めなくても個数だけ調べられるんですね！

その通り！「共有点の個数を求めよ」という問題では判別式だけで十分だよ。

もちろん「共有点の座標を求めよ」と聞かれたら実際に解く必要があるけどね。

ここでは3点を通る円の方程式の求め方と、円と直線の共有点の個数（判別式）について学習しました。

3点を通る円は一般形に代入して連立方程式を解く方法がポイントです。

円と直線の位置関係は判別式$D$の符号で判定できるので、しっかり使いこなせるようにしましょう！