このページのまとめ
先に押さえておくこと
円の方程式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。
答えの要点
図と式の対応や答えの条件を、先に短く確認できます。
- テーマ: 標準形と一般形
- ポイント: 図形と方程式の要点を、図と式を往復しながら確認しやすい記事です。
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問題
(1) 中心が(2,−1)、半径が3の円の方程式を求めよ。
(2) x2+y2−4x+6y+4=0を標準形に変形せよ。
解説
円の方程式について解説します。
いい質問だね。円の方程式には「標準形」と「一般形」の2つの表し方があるんだ。
まずは標準形から見ていこう！
円周上の点(x,y)と中心(a,b)の距離が、常に半径rに等しいからだよ。
2点間の距離の公式から導けるんだ。
円周上の任意の点(x,y)と中心(a,b)の距離がrであることから、
(x−a)2+(y−b)2=r 両辺を2乗すると、(x−a)2+(y−b)2=r2となります。
一般形から標準形に変形するには、平方完成を使うんだよ。
それでは問題を解いていきましょう。
(1) 中心が(2,−1)、半径が3の円の方程式を求めよ。
標準形の公式に当てはめてみよう。中心(a,b)=(2,−1)、半径r=3だね。
標準形(x−a)2+(y−b)2=r2に代入すると、
(x−2)2+(y−(−1))2=32 =(x−2)2+(y+1)2=9 yの部分が(y+1)2になるんですね。
そうだね。中心のy座標が−1だから、(y−(−1))2=(y+1)2となるよ。
符号に注意してね！
(2) x2+y2−4x+6y+4=0を標準形に変形せよ。
一般形から標準形に変形するには、xとyについてそれぞれ平方完成するんだ。
まず、xの項とyの項をそれぞれまとめます。
(x2−4x)+(y2+6y)+4=0 xについて平方完成すると、
x2−4x=(x−2)2−4 yについて平方完成すると、
y2+6y=(y+3)2−9 平方完成のポイントは、(x−p)2=x2−2px+p2の形を使うことだね。
x2−4xなら、−2p=−4よりp=2だから、(x−2)2−4となるよ。
元の式に代入すると、
(x−2)2−4+(y+3)2−9+4=0 (x−2)2+(y+3)2−9=0となるため、
(x−2)2+(y+3)2=9 できました！中心(2,−3)、半径3の円ですね。
その通り！標準形にすると、中心と半径がすぐにわかるね。
(y+3)2だから中心のy座標は−3だよ。符号に注意してね。
標準形
(x−a)2+(y−b)2=r2 から中心
(a,b)と半径
rがわかる
一般形
x2+y2+lx+my+n=0 は標準形を展開した形
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ここでは円の方程式について学習しました。
標準形と一般形の2つの表し方があり、平方完成で相互に変換できます。
円の中心と半径を求める問題は頻出なので、しっかり練習してくださいね！
