2次方程式の解と係数の関係②

問題

2次方程式$3x^2-x-3=0$の2つの解を$\alpha,\beta$とするとき以下の値を求めよ。

解説

2次方程式の解と係数の関係を使う問題を解説します。

どのように解くか分かるかな？

まずは解と係数の関係を使って$\alpha+\beta$と$\alpha \beta$を求めます。

解と係数の関係を確認しておきましょう。

このような問題に対応するために、頭に入れておいてほしいことがあるんだ。

話が変わるけど、「対称式」って覚えてるかな？

はい。$x^2y^2$のような$x$と$y$を入れ替えても変わらない式のことですよね。

その通り。じゃあ、$x$と$y$の2変数についての「基本対称式」は覚えてるかな？

$x+y$と$xy$です。

対称式の知識が曖昧な方は[学習する - 数学I - 数と式]にある「式の値(対称式)」で学習してくださいね。

対称式には、以下のような性質がありました。

ここで解と係数の関係で分かる$\alpha+\beta$と$\alpha \beta$に注目してみると、これって基本対称式そのものだよね。

本当ですね。$\alpha$と$\beta$の$2$変数についての基本対称式になっています。

だから解と係数の関係を使う問題では対称式の性質を使わせるような問題が多いんだ。覚えておいてね。

実際、例題での$(1)$と$(2)$で求めたい式は対称式になっていますね。

これをふまえた上で、問題を解いていきましょう！

$\alpha^3+\beta^3$は対称式で、解と係数の関係から基本対称式の値が分かるので求められそうですね！

解法が分かれば怖くないですね。解答例は以下のようになります。

次の問題を見ていきます。

これも対称式だから基本対称式で表せるはずなんですが$\cdots$

$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{(\alpha + \beta)^2-2\alpha \beta}{\alpha \beta}$と表せますね。

対称式を通分してみると分かりやすいね。

ポイントは、対称式は「必ず」基本対称式で表せるということだよ。すぐには思いつけなくても落ち着いて考えよう。

ちなみにこの変形は頻出だから覚えておけるといいね。

解答例は以下のようになります。

それでは最後の問題を見ていきます。

うーん$\cdots$ これは対称式じゃないですね。どうやって解けばいいんだろう。

この問題は一瞬で解けるんだ。式をよく見てごらん。

なんか、元の2次方程式と似てますね。

そう。確認だけれど、$\alpha$とは何だったかな？

2次方程式$3x^2-x-3=0$の解のうちの$1$つです。

$\alpha$と$\beta$は2次方程式$3x^2-x-3=0$の解でしたね。

つまり、$2$次方程式に$\alpha$や$\beta$を代入したら方程式が成り立つ（$0$になる）ということです。

意外と忘れてしまいがちだけど、2次方程式$3x^2-x-3=0$の解である$\alpha$を$x$に代入すると$3\alpha^2-\alpha-3=0$が成り立っているんだ。

同様に$3\beta^2-\beta-3=0$も成り立つよ。

完全に忘れてました、大切ですね！

$3\alpha^2-\alpha-4=(3\alpha^2-\alpha-3)-1$なので値を代入すると、求める値は$\underline{-1}$となります。

ここでは2次方程式の解と係数の関係を使う問題について解説しました。

数学Iで学習した「対称式」の知識が必要となりましたね。

解と係数の関係も同様に、他の単元でも頻出する知識なので繰り返し使って使いこなせるようになっておきましょう！