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複素数と方程式

複素数の基本

虚数単位$i$と四則演算

複素数と方程式の「複素数の基本」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「虚数単位$i$と四則演算」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約9分 難易度 1

このページのまとめ

先に押さえておくこと

複素数の基本の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

虚数単位$i$と四則演算の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 虚数単位iiと四則演算
  • ポイント: 複素数と方程式の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
  • 次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

iiは虚数単位とする。次の問いに答えよ。

(1)(3+2i)+(1−5i)(1)\quad (3+2i)+(1-5i)を計算せよ。

(2)(2+3i)(4−i)(2)\quad (2+3i)(4-i)を計算せよ。

(3)5+i2−i(3)\quad \dfrac{5+i}{2-i}を計算せよ。

(4)(a+bi)(a−bi)(4)\quad (a+bi)(a-bi)を計算せよ。ただしa,ba, bは実数とする。

答えを見る

(1)  (1)\; 4−3i‾\underline{4-3i}

(2)  (2)\; 11+10i‾\underline{11+10i}

(3)  (3)\; 9+7i5‾\underline{\dfrac{9+7i}{5}}

(4)  (4)\; a2+b2‾\underline{a^2+b^2}

解説

複素数の基本について解説します。

複素数ってそもそも何ですか？iiって何の数ですか？

いい質問だね！数学Iでは「x2=−1x^2=-1 を満たす実数は存在しない」と学んだよね。

複素数では「2乗すると−1-1になる数」を新たに定義して、数の世界を広げるんだ。

実数も複素数の仲間なんですか？

その通り！実数はb=0b=0の場合の複素数だよ。つまり3=3+0i3=3+0iと考えることができるんだ。

複素数の計算では、iiを文字のように扱い、i2i^2が出てきたら−1-1に置き換えるのが基本です。

まず、複素数の重要な性質を確認しましょう。

また、負の数の平方根は虚数単位iiを使って次のように表せます。

a>0a > 0のとき、−a=a  i\sqrt{-a} = \sqrt{a}\;i

例えば、−3=3  i\sqrt{-3} = \sqrt{3}\;i、−4=2i\sqrt{-4} = 2i です。

それでは問題を解いていきましょう！

(1)(3+2i)+(1−5i)(1)\quad (3+2i)+(1-5i)を計算せよ。

複素数の加法・減法は、実部同士・虚部同士をそれぞれ計算するだけだよ。

(3+2i)+(1−5i)(3+2i)+(1-5i)
=(3+1)+(2−5)i= (3+1)+(2-5)i
=4−3i‾= \underline{4-3i}

普通の文字式と同じ感覚で計算できますね！

(2)(2+3i)(4−i)(2)\quad (2+3i)(4-i)を計算せよ。

乗法は普通に展開して、i2=−1i^2=-1を使えばOKだよ。

(2+3i)(4−i)(2+3i)(4-i)
=8−2i+12i−3i2= 8-2i+12i-3i^2
=8+10i−3×(−1)= 8+10i-3 \times (-1)
=8+10i+3= 8+10i+3
=11+10i‾= \underline{11+10i}

i2=−1i^2=-1の置き換えを忘れないようにしてね。ここがポイントだよ！

(3)5+i2−i(3)\quad \dfrac{5+i}{2-i}を計算せよ。

割り算はどうすればいいですか？分母にiiがあると困ります...

分母の共役複素数を分母・分子にかけるんだ。

分母が2−i2-iなら、共役複素数の2+i2+iを上下にかけるよ。

5+i2−i\dfrac{5+i}{2-i}
=(5+i)(2+i)(2−i)(2+i)= \dfrac{(5+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}
=10+5i+2i+i24−i2= \dfrac{10+5i+2i+i^2}{4-i^2}
=10+7i+(−1)4−(−1)= \dfrac{10+7i+(-1)}{4-(-1)}
=9+7i5= \dfrac{9+7i}{5}
=9+7i5‾= \underline{\dfrac{9+7i}{5}}

分母が(2−i)(2+i)=4−i2=4+1=5(2-i)(2+i) = 4-i^2 = 4+1 = 5と実数になるのがポイントだよ。

有理化と同じ発想だね！

なるほど！共役複素数をかけると分母が実数になるんですね！

(4)(a+bi)(a−bi)(4)\quad (a+bi)(a-bi)を計算せよ。ただしa,ba, bは実数とする。

これは共役複素数の積だね。(3)(3)の分母で使ったテクニックの一般形だよ。

(a+bi)(a−bi)(a+bi)(a-bi)
=a2−(bi)2= a^2-(bi)^2
=a2−b2i2= a^2-b^2 i^2
=a2−b2×(−1)= a^2-b^2 \times (-1)
=a2+b2‾= \underline{a^2+b^2}

和と差の積の公式(x+y)(x−y)=x2−y2(x+y)(x-y)=x^2-y^2を使っているよ。

複素数とその共役複素数の積は必ず実数（しかも0以上）になるんだ。

これは割り算の計算でとても大切な性質だよ！

このページのまとめ

ここでは複素数の基本について学習しました。

複素数の計算は、iiを文字のように扱って展開し、i2=−1i^2=-1を使って整理するのが基本です。

割り算では共役複素数を活用して分母を実数化する手法が重要なので、ぜひマスターしてくださいね！

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