複素数の相等条件

問題

実数$x, y$が次の等式を満たすとき、$x, y$の値を求めよ。

解説

複素数の相等条件を使った問題について解説します。

複素数が等しいってどういう意味ですか？

いい質問だね！2つの複素数が等しいとは、実部同士と虚部同士がそれぞれ等しいということだよ。

この条件を使えば、複素数の等式から実数の連立方程式を作ることができるんだ。

ポイントは、$x, y$が実数であることだよ。実数でなければこの条件は使えないからね。

それでは問題を解いていきましょう！

$x, y$は実数だから、左辺の実部と虚部を右辺と比較できるね。

左辺の実部は$2x+y$、虚部は$x-3y$です。

右辺の実部は$5$、虚部は$1$です。

複素数の相等条件より、実部同士・虚部同士がそれぞれ等しいので、

この連立方程式を解きます。①$\times 3 +$ ②より、

①に代入して、

よって、$\underline{x=\dfrac{16}{7},\; y=\dfrac{3}{7}}$

なるほど！複素数の等式を連立方程式に変換して解けばいいんですね！

その通り！では次の問題を見てみよう。

右辺の$0$は実数だから、$0+0i$と考えることができるよ。

$x, y$は実数なので、複素数の相等条件（特に$a+bi=0$の場合）を使うと、実部と虚部がともに$0$になります。

②より$y=3x$を①に代入して、

よって$y=3 \times 0 = 0$となり、$\underline{x=0,\; y=0}$

$(2)$は$a+bi=0$の特殊なパターンなんですね。

そうだよ！「複素数$=0$」なら実部も虚部も$0$というのは頻出パターンだから覚えておこう。

それから、相等条件が使えるのは$x, y$が実数のときだけだから注意してね！

ここでは複素数の相等条件について学習しました。

2つの複素数が等しい $\Leftrightarrow$ 実部同士・虚部同士がそれぞれ等しい、というシンプルな条件ですが、これを使って連立方程式に持ち込めるのがポイントです。

「$x, y$は実数」という条件を見落とさないように気を付けてくださいね！