複素数

問題

次の計算をせよ。 $i$は虚数単位とする。

解説

複素数の問題の解説をします。

この問題は虚数単位$i$が入っているだけでただの展開の問題ですね。

展開すると、$16+16i+4i^2$となります。

$i$がただの文字であればここで終わりですが、虚数単位なので$i^2=-1$を代入しましょう。

答えは$16+16i-4=\underline{12+16i}$となります。

次の問題を見ていきます。

等比数列の和みたいですね。

その見方もできるね！でも、もっとシンプルな考え方もあるよ。

虚数単位$i$は、$2$乗すると$-1$になる数でした。

では$3$乗するとどうなるでしょうか？$-i$ですね。

$4$乗だったら$1$になりますね。

$5$乗したら$i$、$6$乗したら$-1$、$7$乗したら$-i$、$8$乗したら$1$、$\cdots$

$i^n$は周期を$4$として同じ値が出てくるんだ。

$i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0$だし、$i^5+i^6+i^7+i^8=0$だよ。

この性質を分かっていれば、$(2)$は簡単に解くことができます。

$(i+i^2+i^3+i^4)+(i^5+i^6+i^7+i^8)+\cdots+(i^{29}+i^{30}+i^{31}+i^{32})+i^{33}$と整理することができ、$()$の部分はそれぞれ$0$になるため残るのは$i^{33}$だけなので答えは$i^{33}=\underline{i}$となります。

$i^{33}$はどうやって計算すればいいんですか？

$i^4=1$だったよね。$i$の指数が$4$の倍数のときは$1$になるんだ。

そして$i^{33}=i^{32} \times i$ と考えることができるよね。

$i^{32}$は$1$になるから、$i^{33}=1 \times i =i$というように計算できるよ。

最後に、$(2)$の別解を紹介するよ！

最初に等比数列という言葉が出てきましたが、その考えを使って解くこともできます。

等比数列の和として答えを求めてみよう。

等比数列の和の公式を忘れてしまった人は公式集で確認してね！

ここでは、複素数の問題について解説しました。

複素数の基礎となる部分なので必ずマスターしましょう！