この関係は何に使うの？

2次方程式の解と係数の関係①では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

解と係数の関係は、どこから出てくるの？

2次方程式の解と係数の関係①では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

2次方程式の解と係数の関係①では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

2次方程式の解と係数の関係①の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

複素数と方程式の答えと条件を先に確認できます。

2次方程式の解と係数の関係の説明と証明をします。

まずは解と係数の関係とはなにか見ていきましょう。

これってなんの役に立つんですか？

この関係は、解を求めなくても「解の和」と解の積」が分かるということを言っているんだ。

たとえば以下のような例題を見てみよう。

2次方程式 $x^2+7x+2=0$ の解をそれぞれ $\alpha,\beta$ としたとき $\alpha+\beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めよ。

解と係数の関係より、

\alpha+\beta = -\frac{7}{1 }=\underline{-7}

\alpha \beta=\frac 2 1 = \underline{2}

解と係数の関係を知らなかった場合、この $2$ 次方程式の和と積を求めるためには解の公式を使って解いたあとに計算する必要があるんだ。

でも解と係数の関係を知っていれば解を求めることなく和と積を求めることができるよ。

それでは解と係数の関係の証明を行っていきます。

2次方程式の解が $x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ であることを利用します。

2次方程式の解は $x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ であるから

その $2$ 解をそれぞれ $\alpha,\beta$ とすると

\alpha+\beta=\frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\underline{-\frac b a}

{\alpha \beta} = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdot \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}={\underline{\frac c a}}

証明は簡単だね。この関係は必ず暗記しておこう。

このページのまとめ

ここでは解と係数の関係の説明と証明を行いました。

この関係は色々なところで使うので、たくさん使って慣れておいてくださいね！

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