解と係数の関係は、どこから出てくるの？

3次方程式の解と係数の関係では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

α+β と αβ は、どう使い分ければいいの？

3次方程式の解と係数の関係では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

このページのまとめ

3次方程式の解と係数の関係の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

複素数と方程式の答えと条件を先に確認できます。

3次方程式の解と係数の関係の証明をします。

まずは3次方程式の解と係数の関係を確認しましょう。

この関係は覚えたほうがいいですか？

覚えているに越したことはないけれど、2次方程式のときと違って使う頻度は少ないかな。

この関係はすぐに導出できるから、忘れてしまっても導出できるようになっておこう。

それでは証明(導出)していきます！

3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると

$a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$ と表せる。

$a\neq 0$ より $a$ で両辺を割って $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0$

これを展開して整理すると、

\underline{x^3-(\alpha + \beta +\gamma)x^2+(\alpha \beta +\beta \gamma + \gamma \alpha)x-\alpha \beta\gamma=0}{\cdots (1)}

また、 $3$ 次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の両辺を $a\;\;(\neq 0 )$ で

割ると $\underline{x^3+\frac b a x^2+\frac c ax+\frac d a=0}\cdots (2)$

$(1)$ と $(2)$ の係数を比較することにより、以下を得る。

\Large \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta+\gamma =-\frac b a \\ \\ \alpha \beta +\beta \gamma + \gamma \alpha = \frac c a \\ \\ \alpha \beta\gamma = -\frac d a\end{array} \right.

2次方程式の解の公式も同じように証明できるよ。

このページのまとめ

3次方程式の解と係数の関係の証明を行いました。

この関係は使うことがあまりないので忘れてしまいがちですが、最低限導出はいつでもできるようになっておきましょう！

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