組立除法

問題

次の整式の割り算を組立除法を用いて行い、商と余りを求めよ。

$(1)\quad 2x^3-5x^2+3x+7$ を $(x-2)$ で割る

$(2)\quad x^4-3x^2+2$ を $(x+1)$ で割る

解説

組立除法の問題について解説します。

整式の割り算って、筆算だと計算が大変ですよね...

そうだね。特に$(x-a)$で割るときは、組立除法を使うと素早く計算できるよ！

組立除法とは、整式$P(x)$を$(x-a)$で割るときに使える効率的な計算方法です。

言葉だけだとイメージしにくいです...

実際に問題を解きながら確認していこう！

$(x-2)$で割るので、$a=2$です。$P(x)=2x^3-5x^2+3x+7$の係数を順に並べると$2, -5, 3, 7$です。

組立除法の配置と計算を見てみよう。

計算の流れを確認しましょう。

1. 最高次の係数$2$をそのまま下ろす
2. $2 \times 2 = 4$ を次の$-5$に加えて $-5+4=-1$
3. $-1 \times 2 = -2$ を次の$3$に加えて $3+(-2)=1$
4. $1 \times 2 = 2$ を次の$7$に加えて $7+2=9$

下の段の最後の数$9$が余りで、それ以外の$2, -1, 1$が商の係数です。

もとの式が$3$次式なので、商は$1$つ次数が下がって$2$次式になります。

よって、商は$\underline{2x^2-x+1}$、余りは$\underline{9}$です。

ちなみに、剰余の定理から余りは$P(2)$と一致するはずだよ。確認してみよう。

$P(2)=2 \cdot 8 - 5 \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 7 = 16-20+6+7=9$ で一致していますね。

$(x+1)$で割る場合は$a$はいくつになりますか？

$(x+1)=(x-(-1))$だから、$a=-1$だね。

あと、$x^3$の項と$x$の項がないから、係数の$0$を忘れずに入れてね！

$x^4-3x^2+2 = x^4+0 \cdot x^3-3x^2+0 \cdot x+2$なので、係数は$1, 0, -3, 0, 2$です。

計算の流れを確認しましょう。

1. 最高次の係数$1$をそのまま下ろす
2. $1 \times (-1) = -1$ を次の$0$に加えて $0+(-1)=-1$
3. $-1 \times (-1) = 1$ を次の$-3$に加えて $-3+1=-2$
4. $-2 \times (-1) = 2$ を次の$0$に加えて $0+2=2$
5. $2 \times (-1) = -2$ を次の$2$に加えて $2+(-2)=0$

余りが$0$なので割り切れますね。商の係数は$1, -1, -2, 2$です。

よって、商は$\underline{x^3-x^2-2x+2}$、余りは$\underline{0}$です。

余りが$0$ということは、$x^4-3x^2+2$は$(x+1)$で割り切れるんですね！

その通り！因数定理と同じことだね。$P(-1)=1-3+2=0$だから$(x+1)$は因数なんだ。

組立除法は因数分解にも使えるから覚えておこう！

ここでは組立除法を使った整式の割り算について学習しました。

組立除法は$(x-a)$で割る場合に特に有効で、通常の筆算よりも素早く計算できます。

剰余の定理・因数定理とセットで使いこなせるようにしておきましょう！