剰余の定理

問題

$(x+1)^{12}$を$x^2-1$で割ったときの余りを求めよ。

解説

剰余の定理を使う問題について解説します。

12乗はさすがに展開したくないです。

「余りを求めよ」という問題が出題されたら次のように解いていこう。

具体的に見ていきましょう。

商と余りを文字でおいていきます。このときにポイントがあります。

どういうことですか？

この問題だったら、$x^2-1$という$2$次式で割っているから余りは$\textcolor{red}{1次式以下}$になるんだ。

余りが$1$次式(以下)になるということは、余りは$ax+b$と表せます。

よって、$(x+1)^{12}=\underline{(x^2-1)A}+ax+b$という恒等式を立てることができますね。

商は次のステップで消えるからどんな文字で置いても大丈夫だよ。ここでは分かりやすいように$A$とするね。

次に割る式が$0$になるような場合を考えます。

この問題では割る式は$\underline{(x^2-1)}$ですね。

$(x^2-1)=0$とすると$x^2-1=0 \iff x=\pm 1$

つまり$x=\pm 1$のときに割る式である$(x^2-1)$が$0$になりますね。

それぞれの値を恒等式に代入してみましょう。

・$x=-1$のとき、 恒等式に代入すると$\underline{0=-a+b}$

・$x=1$のとき、恒等式に代入すると$\underline{2^{12}=a+b}$

2つの式を連立方程式として解くと、$a=2048,b=2048$

余りを$ax+b$としていたので、余りは$\underline{2048x+2048}$となります。

色々な問題を解いて練習してね！

ここでは剰余の定理を使う問題について解説しました。

最初はなぜ解けるのか不思議かもしれませんが、解いているうちに理解度が深まってくると思います。

しっかりとポイントをおさえて、確実に答えを求められるように練習していきましょう！