余りをすぐ求めるときは、何を見ればいいの？

剰余の定理と因数定理では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

剰余の定理と因数定理の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

剰余の定理と因数定理の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

複素数と方程式の答えと条件を先に確認できます。

剰余の定理と因数定理についての解説と証明を行います。

まずは剰余の定理を確認しましょう。

この定理はどのように使うんですか？

この例題をみてみよう。

$x^3+3x^2-10x$ を $x-1$ で割った余りを求めよ。

剰余の定理を知らなかったら、割り算して求めなきゃいけないよね。

$f(x)=x^3+3x^2-10x$ とすると、余りは $f(1)=1+3-10=\underline{-6}$ となります。

こんなに簡単に求められるんですね！

ちなみに、割る式の $x$ の係数が $1$ じゃない場合は次のようになるよ。

どうしてこの定理が成り立つんですか？

それはあとで説明するね。

次は、因数定理についてみてみよう。

剰余の定理では、 $x-a$ で割った「余り」が分かったけれどその余りが $0$ だったらどうだろう？

余りが $0$ ということは割り切れるってことですよね。あ、だから因数定理が成り立つんですね！

その通り！

それでは剰余の定理と因数定理の証明をするね。

$f(x)$ を $(x-a)$ で割ったときの余りを $R$ とする。

このとき、 $f(x)=(x-a)\cdot g(x)+R$ と表せる。

ここで $x=a$ とすると、 $f(a)=R$ となる。 $(\textcolor{red}{{剰余の定理}})$

また、余りが $0$ のとき $f(x)=(x-a)\cdot g(x)$ なので $f(x)$ は $(x-a)$ を因数に持つ。 $(\textcolor{red}{{因数定理}})$

この証明をするときのポイントは $2$ つあります。

この2つの定理は $\textcolor{red}{{頻出}}$ だから必ず理解してね。

このページのまとめ

ここでは剰余の定理と因数定理の証明と解説を行いました。

高校数学では頻出なので必ずマスターしてくださいね。

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