解と係数の関係は、どこから出てくるの？

相反方程式②では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

α+β と αβ は、どう使い分ければいいの？

相反方程式②では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

相反方程式②の解き方 | 数学Ⅱの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

相反方程式②の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

奇数次の相反方程式の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 奇数次の相反方程式
ポイント: 複素数と方程式の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
次に読むなら: 関連ページ、またはアプリで類題演習

問題

$5$ 次方程式 $x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1=0$ を解け。

答えを見る

x=\underline{-1}

解説

相反方程式の問題について解説します。

$5$ 次方程式 $\cdots$ あ、相反方程式だ！

今回は「奇数次」の相反方程式の解法を解説していくよ。

偶数次の相反方程式の解法をまだ学習していない方は、先に「相反方程式①」から学習してくださいね！

偶数次のときもそうだったけれど、相反方程式の解法は決まっているんだ。覚えてしまおう！

それでは奇数次の相反方程式の解法を解説していきます。

奇数次の相反方程式は、 $x=-1$ を必ず解に持つんだ。

そうなんですか？ということは、 $(x+1)$ を因数に持つということですか？

そうだね。奇数次の相反方程式は $(x+1)$ でくくるところから始めよう。

$x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1=0$ の左辺をくくると $(x+1)\underline{(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)}=0$ となります。

何か気づくかな？

$(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)$ は相反方程式です！

その通り！奇数次の相反方程式を $(x+1)$ でくくると必ず偶数次の相反方程式が出てくるんだ。

つまり、 $(x+1)$ でくくったあとは偶数次の相反方程式の解法と同じように解けばいいですね。

偶数次の相反方程式の解法は覚えてるかな？

はい。中央の項の文字で両辺を割って $t=x+\frac 1 x$ とおくんでしたね。

その通り！最初に $x\neq 0$ を確認するのを忘れずにね。

解答例は以下のようになります。

$x=-1$ は解なので、因数定理より左辺をくくると

$(x+1)(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)=0$ となる。

$(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)=0$ について考える。

$x=0$ は解ではないので、 $x^2\neq 0$ より両辺を割って

x^2+4x+6+\frac 4 x +\frac {1}{x^2}=0

ここで $t=x+\frac 1 x$ とおくと $t^2+4t+4=0$ となる。

これを解いて $t=-2$

$t$ を戻すと $x+\frac 1 x = -2$ となりこれを解いて $x=-1$

以上より、求める解は $x=\underline{-1}$

このページのまとめ

ここでは奇数次の相反方程式の解法について解説しました。

偶数次の相反方程式の解法が理解できていれば、最初に因数定理を使うところ以外は同じなので難しくありませんね。

いつ出題されても解けるように練習しておきましょう！

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