相反方程式①

問題

$4$次方程式$2x^4+x^3+3x^2+x+2=0$を満たす複素数$x$の値を求めよ。

解説

相反方程式の問題を解説します。

え？$4$次方程式？！

因数定理で頑張って因数分解するしか$\cdots$

結論から言うとこの4次方程式は因数定理では因数分解できないよ。

ではどうやって解くんですか？

今から解説していくね。

実は、今回の例題の方程式のように係数が左右対称になっている方程式のことを「相反方程式」と呼びます。

相反方程式は今から紹介する方法を使えば「必ず」解くことができます。

入試問題では誘導がついていることも多いよ。

でも難しくないから、今知った人はここで理解して周りと差をつけよう！

相反方程式の解法を紹介する前に、「4次方程式を解け」と言われた場合に基本的にはどのように考えていけばいいのかについて整理してみましょう。

1. 複$2$次式でないかを確認する
2. 相反方程式でないかを確認する
3. 因数定理を使う

順番に見ていきます。

複$2$次式って何でしたっけ？

次数が「偶数の項のみ」からなる多項式のことだよ。

$4$次方程式の場合、$x^4$と$x^2$と定数の項から成っていれば複$2$次式なので例題の方程式は複$2$次式ではないですね。

今回の例題は相反方程式なので、相反方程式の解法を使って解いていきます。

①と②も違かった場合、因数定理を使って$4$次方程式を解くことになりますが、この方法は自分で方程式を満たすような解を探す必要があるので時間がかかります。

そのため、必ず①と②を確認してから因数定理を使うことを考えましょう。

それでは、相反方程式の解法について解説していくね。

相反方程式の解法は以下の$2$パターンがあります。

1. 偶数次の相反方程式の解法
2. 奇数次の相反方程式の解法

今回は最高次の次数が$4$、つまり偶数なので、①の解法を紹介します。

まずは、「中央の項」の文字$x^2$で両辺を割るんだ。

$x^2$で割るためには$0$でないことを確認する必要があります。

$x=0$を代入してみると、成り立たないので$x=0$は解ではないため$x^2\neq0$より、両辺を$x^2$で割ると$2x^2+x+3+\frac 1 x + \frac{2}{x^2}=0$

$x^2$がある項と$x$の項をまとめ、整理しておくと$2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x+\frac{1}{x}\right)+3=0$とできますね。

次に、$x+\frac{1}{x}$を文字でおくんだ。

ここでは$t$と置いてみましょう。 $t=x+\frac{1}{x}$とします。

${x^2+\frac{1}{x^2}}も{t}$で表現したいので、上手く変形すると$2\left\{\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\right\}+\left(x+\frac{1}{x}\right)+3=0$ $\iff 2(t^2-2)+t+3=0$

これを計算して$2t^2+t-1=0$となりますね。

そしてこの$t$の$2$次方程式を解いて、解を求めよう。

たすき掛けすると$(2t-1)(t+1)=0$と因数分解できるので$t=\frac{1}{2},-1$となります。

最後に$t$を戻そう！

$t=x+\frac{1}{x}$としていたので、戻します。

$t=\frac{1}{2}$のときは$x+\frac{1}{x}=\frac{1}{2} \iff 2x^2-x+2=0$となり、$t=-1$のときは$x+\frac 1 x = -1 \iff x^2+x+1=0$となるのでこの$2$つの$2$次方程式をそれぞれ解いて、答えは $x=\underline{\frac{1\pm \sqrt{15}i}{4},\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}}$ となります。

なかなか大変な問題ですね。

慣れたら簡単だよ。

最後に解答の仕方をまとめておこう。

最初に$x=0$が解じゃないことを必ず確認するようにね！

なぜこのような方法で解けるんですか？

相反方程式を中央の項の文字で割ったとき、実は$x$と$\frac 1 x$の対称式になるんだ。

対称式は「必ず」基本対称式だけで表せるんでしたね。

$x\cdot \frac 1 x=1$だから、$x+\frac 1 x$を文字でおけばおいた文字だけで表すことができることを利用して解いているんだ。

なるほど、面白いですね！

ここでは相反方程式の解法について解説しました。

最初は難しく感じるかもしれませんが、繰り返し解いて解法を覚えましょう！