2次方程式は、いつ解の公式を使えばいいの？

実数係数の2次方程式では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

虚数解も含めて考えるときは、どう見ればいいの？

実数係数の2次方程式では、複素数と方程式について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

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このページのまとめ

実数係数の2次方程式の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

数学Iとの違いの答えと条件を先に確認できます。

2次方程式 $x^2+2x+3=0$ を解け。

x=\underline{-1\pm \sqrt{2}i}

実数係数の2次方程式の問題について解説します。

たすき掛けはできないから、解の公式を使って $\cdots$

2次方程式の解の公式を確認しておきましょう。

数学Iのときは、虚数を扱っていなかったから $2$ 次方程式の解は実数解しか考えていなかったよね。

でも、 $i$ という虚数を導入したことでこれからは虚数解についても考えることができるんだ。

ふむふむ。では「 $2$ 次方程式を解け」というような問題が出たら虚数解も含めて回答すればいいんですね。

その通り。以下のポイントもおさえておこう。

どういうことですか？

例題を解きながら説明していくね。

2次方程式 $x^2+2x+3=0$ を解け。

解の公式の使い方は数学Iのときと同じなので以下のようになります。

$2$ 次方程式の $x$ の項の係数が偶数だから、偶数バージョンの解の公式を使おう。

解の公式より、 $x=-1\pm\sqrt{1^2-3}=-1\pm \sqrt{-2}=\underline{-1\pm \sqrt{2}i}$

解は $x=-1\pm\sqrt{2}i$ となったね。

ところで、「共役複素数」という言葉を覚えているかな？

例題の解である $x=-1+\sqrt{2}i$ と $x=-1- \sqrt{2}i$ は共役な複素数になっているよね。

これは偶然じゃなくて必ずそうなるんだ。実数係数の $2$ 次方程式の解で虚数解を持っていたら、共役な複素数も解に持つことを覚えておこう。

分かりました。覚えておくと何かいいことあるんですか？

例えば以下のような問題が出たときに使えるよ。

$a,b$ を実数とする。 $x=1+\sqrt{3}i$ を解に持つような2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ があるとき $a,b$ の値を求めよ。

実数係数の $2$ 次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解として $x=1+\sqrt{3}i$ があると言われているので、その共役複素数である $x=1-\sqrt{3}i$ も解として持つことから問題を解くことができますね。

このページのまとめ

ここでは実数係数の2次方程式について解説しました。

解の公式使い方自体は数学Iのときと同じですが、虚数解が存在することを忘れないようにしましょう。

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