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複素数と方程式

3次方程式の応用

解と係数の関係の利用

複素数と方程式の「3次方程式の応用」を、答えを先に押さえてから理解できる形に整理したページです。「解と係数の関係の利用」でつまずきやすい点も含めて、学習の流れを短く確認できます。

数学Ⅱ 約12分 難易度 2

このページのまとめ

先に押さえておくこと

3次方程式の応用の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

解と係数の関係の利用の答えと条件を先に確認できます。

  • テーマ: 解と係数の関係の利用
  • ポイント: 複素数と方程式の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

3次方程式 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0 の3つの解を α,β,γ\alpha, \beta, \gamma とするとき、次の値を求めよ。

(1)α2+β2+γ2(1)\quad \alpha^2+\beta^2+\gamma^2
(2)α3+β3+γ3(2)\quad \alpha^3+\beta^3+\gamma^3

答えを見る

(1)  (1)\; α2+β2+γ2=6‾\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = \underline{6}

(2)  (2)\; α3+β3+γ3=−3‾\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = \underline{-3}

解説

3次方程式の解と係数の関係を使って、対称式の値を求める問題を解説します。

3次方程式の解と係数の関係ってどんなものでしたっけ？

まずは公式を確認しておこう。2次方程式の解と係数の関係の拡張だよ。

2次の場合と同じように、対称式は基本対称式で表せるんだ。

3変数の場合、基本対称式は α+β+γ\alpha+\beta+\gamma、αβ+βγ+γα\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha、αβγ\alpha\beta\gamma の3つだよ。

それでは問題を解いていきましょう！

3次方程式 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0 の3つの解を α,β,γ\alpha, \beta, \gamma とするとき、次の値を求めよ。

(1)α2+β2+γ2(1)\quad \alpha^2+\beta^2+\gamma^2

まず、解と係数の関係を使って基本対称式の値を求めます。

方程式 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0 は x3+0⋅x2−3x+1=0x^3+0\cdot x^2-3x+1=0 なので、a=1,b=0,c=−3,d=1a=1, b=0, c=-3, d=1 です。

x2x^2 の項がないけれど、係数が 00 なだけだから気を付けてね。

解と係数の関係より、

α2+β2+γ2\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 を基本対称式で表すにはどうすればいいですか？

2変数のときと同じ考え方だよ。(α+β+γ)2(\alpha+\beta+\gamma)^2 を展開してみよう。

(α+β+γ)2(\alpha+\beta+\gamma)^2 を展開すると、

(α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα)(\alpha+\beta+\gamma)^2 = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)

したがって、

α2+β2+γ2=(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα)\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)

ここに値を代入すると、

α2+β2+γ2\alpha^2+\beta^2+\gamma^2
=02−2×(−3)= 0^2 - 2\times(-3)
=6‾= \underline{6}

2変数のときの α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta と全く同じ考え方だよ。

次の問題を見ていきます。

3次方程式 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0 の3つの解を α,β,γ\alpha, \beta, \gamma とするとき、次の値を求めよ。

(2)α3+β3+γ3(2)\quad \alpha^3+\beta^3+\gamma^3

3乗の対称式を基本対称式で表す公式って、3変数だと複雑そうです...

実はもっと簡単な方法があるんだ。α\alpha が方程式の解であることを使ってみよう。

α\alpha は方程式 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0 の解なので、α\alpha を代入すると方程式が成り立ちます。つまり、

α3−3α+1=0⟹α3=3α−1\alpha^3-3\alpha+1=0 \quad \Longrightarrow \quad \alpha^3 = 3\alpha-1

同様に、β3=3β−1\beta^3 = 3\beta-1、γ3=3γ−1\gamma^3 = 3\gamma-1 も成り立ちます。

なるほど！解を代入すれば方程式が成り立つから、α3\alpha^3 を低次の式で表せるんですね！

これらを足し合わせると、

α3+β3+γ3\alpha^3+\beta^3+\gamma^3
=(3α−1)+(3β−1)+(3γ−1)= (3\alpha-1)+(3\beta-1)+(3\gamma-1)
=3(α+β+γ)−3= 3(\alpha+\beta+\gamma)-3
=3×0−3= 3\times 0-3
=−3‾= \underline{-3}

この「解を方程式に代入して高次の項を低次に落とす」テクニックはとても強力だよ。

2次方程式の解と係数の関係の問題でも使ったことがあるよね。

対称式を基本対称式で表す公式を使うよりずっと簡単ですね！

ちなみに、公式を使う方法でも確認しておこう。

α3+β3+γ3−3αβγ=(α+β+γ)(α2+β2+γ2−αβ−βγ−γα)\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha) という恒等式があるんだ。

この恒等式を使うと、α+β+γ=0\alpha+\beta+\gamma=0 なので右辺が 00 になり、

α3+β3+γ3=3αβγ=3×(−1)=−3\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3\alpha\beta\gamma = 3\times(-1) = -3

と求めることもできます。どちらの方法でも同じ答えになりますね。

このページのまとめ

ここでは3次方程式の解と係数の関係を使って対称式の値を求める問題について学習しました。

解法のポイントは2つあります。「対称式を基本対称式で表す」方法と、「解を方程式に代入して高次を低次に落とす」方法です。

特に後者のテクニックは汎用性が高いので、ぜひ使いこなせるようになってくださいね！

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