3次方程式の解法

問題

次の方程式を解け。

解説

3次方程式の解法について解説します。

3次方程式ってどうやって解くんですか？2次方程式なら解の公式があるけど...

いい質問だね！3次方程式は、まず$\textcolor{red}{因数定理}$を使って1つの解を見つけるのが基本だよ。

3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ を解くには、次の手順を踏みます。

因数定理で解を見つけるって、どうやって見つけるんですか？

ポイントは$\textcolor{red}{定数項の約数}$を順番に代入してみることだよ。

$f(\alpha) = 0$ となる $\alpha$ を探すんだ。

それでは実際に問題を解いていきましょう！

$f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ とおきます。

最高次の係数は $1$ なので、定数項 $6$ の約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を順に代入して $f(\alpha) = 0$ となるものを探します。

$f(-1) = 0$ が見つかったね！因数定理より $f(x)$ は $(x + 1)$ を因数に持つよ。

次に $f(x)$ を $(x + 1)$ で割ります。ここで$\textcolor{red}{\text{組立除法}}$を使うと効率的です。

組立除法ってなんですか？

多項式を $(x - \alpha)$ で割るときに使える簡単な割り算の方法だよ。

やり方を見てみよう！

$f(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ を $(x + 1)$、つまり $(x - (-1))$ で割ります。

組立除法の手順を説明するね。

$(1)$ 左端に割る値 $-1$ を書く

$(2)$ 上段に各係数 $1, -4, 1, 6$ を並べる

$(3)$ 最初の係数 $1$ をそのまま下ろす

$(4)$ 下ろした値 $\times$ 左端の値を次の列の中段に書く（$1 \times (-1) = -1$）

$(5)$ 上段と中段を足して下段に書く（$-4 + (-1) = -5$）

$(6)$ これを繰り返す

下段の数値 $1, -5, 6$ が商の係数、最後の $0$ が余りです。

よって、$f(x) = (x + 1)(x^2 - 5x + 6)$ と因数分解できます。

さらに2次式を因数分解すると、

したがって、

今度は最高次の係数が $2$ だから、解の候補が少し多くなるよ。

$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 11x - 6$ とおきます。

最高次の係数 $2$ の約数は $1, 2$、定数項 $6$ の約数は $1, 2, 3, 6$ なので、候補は $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$ です。

整数から順に試してみましょう。

$f(2) = 0$ が見つかりました！$(x - 2)$ で割ればいいんですね！

組立除法で $(x - 2)$ で割ります。

よって、$f(x) = (x - 2)(2x^2 + 7x + 3)$ と因数分解できます。

さらに2次式を因数分解します。

したがって、

最高次の係数が $1$ でないときは分数の解が出ることもあるから注意してね！

組立除法を使うと計算が速くて便利ですね！

そうだね！ただ、通常の多項式の割り算でも解けるから、やりやすい方を使えばいいよ。

ここでは3次方程式を因数定理と組立除法を使って解く方法を学習しました。

ポイントは「定数項の約数を代入して解を見つける」「組立除法で効率よく割り算する」の2つです。

3次方程式は入試でもよく出題されるので、ぜひマスターしてくださいね！