高次方程式

問題

次の方程式を解け。

解説

高次方程式（3次以上の方程式）の解法について解説します。

3次方程式ってどうやって解くんですか？2次方程式みたいに解の公式はないんですか？

3次方程式にも解の公式はあるけど、高校では使わないんだ。

代わりに、$\textcolor{red}{因数定理}$を使って因数分解する方法を学ぼう！

高次方程式を解くための基本的な流れを確認しましょう。

$f(a)=0$ となる $a$ はどうやって見つけるんですか？

整数係数の多項式の場合、$\textcolor{red}{定数項の約数}$を代入してみるのがコツだよ。

定数項の約数のどれかが解になることが多いんだ。

それでは実際に問題を解いていきましょう。

$f(x)=x^3-4x^2+x+6$ とおきます。

定数項は $6$ なので、その約数 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ を順に代入してみましょう。

$f(-1)=-1-4-1+6=0$ $\quad\cdots$ 見つかった！

$f(-1)=0$ だから、因数定理より $f(x)$ は $(x+1)$ を因数に持つね。

次は$\textcolor{red}{組立除法}$を使って $f(x)$ を $(x+1)$ で割ろう。

組立除法で $f(x)$ を $(x+1)$、つまり $(x-(-1))$ で割ります。

商は $x^2-5x+6$、余りは $0$ なので、$f(x)=(x+1)(x^2-5x+6)$ と因数分解できます。

$x^2-5x+6$ はさらに因数分解できますね。

したがって、$\underline{x=-1,\;2,\;3}$

組立除法を使うと素早く割り算ができるんですね！

その通り！普通の多項式の割り算よりずっと楽だよね。

次は(2)を見てみよう。$x^3=1$ は「$1$の$3$乗根」を求める問題だよ。

$x^3=1$ を変形すると $x^3-1=0$ となります。

$x^3-1$ は因数分解の公式 $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ を使って分解できますね。

$x-1=0$ より $x=1$

$x^2+x+1=0$ は解の公式より、

したがって、$\underline{x=1,\;\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2},\;\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}}$

虚数解が出てきましたね！2つの虚数解は共役複素数になっていますか？

いいところに気づいたね！$\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ と $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ は確かに共役複素数だよ。

実数係数の方程式では、虚数解は必ず共役なペアで現れるんだったね。

ここで、$1$ の $3$ 乗根の虚数解について重要な性質を紹介します。

$1+\omega+\omega^2=0$ はどうやって確認できますか？

$\omega$ は $x^2+x+1=0$ の解だから、$\omega^2+\omega+1=0$ が成り立つんだ。

つまり $1+\omega+\omega^2=0$ だね。この性質はよく使うから覚えておこう！

$\omega^2$ がもう一方の虚数解 $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ になるのはなぜですか？

実際に計算して確かめてみよう。

確かに $\omega^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ となり、$\omega$ の共役複素数になっていますね。

ちなみに、実数係数の方程式が虚数解 $a+bi$ を持つとき、その共役複素数 $a-bi$ も必ず解になるよ。

3次方程式なら、虚数解が $2$ つ（共役ペア）と実数解が $1$ つという組み合わせになるんだ。

ここでは高次方程式の解法について学習しました。

因数定理で因数を見つけ、組立除法で次数を下げるという手順が基本です。

また、$1$ の $3$ 乗根 $\omega$ の性質（$\omega^3=1$, $1+\omega+\omega^2=0$）は頻出なので、しっかりマスターしてくださいね！