共役複素数の性質

問題

$(1)\quad$ $z=3+2i$ のとき、$z+\overline{z}$ および $z\cdot\overline{z}$ の値を求めよ。

$(2)\quad$ $2$次方程式 $x^2-4x+13=0$ の$2$つの解を求め、それらが共役複素数であることを確認せよ。

解説

共役複素数の性質について解説します。

共役複素数ってどういうものですか？

虚数部分の符号を反転させた複素数のことだよ。まずは定義から確認しよう！

共役複素数には便利な性質がいくつかあります。

性質がたくさんありますね。全部覚えないとダメですか？

特に$\text{(1)}$と$\text{(2)}$が重要だよ。実際に計算してみれば自然と分かるから、問題を解きながら確認しよう！

それでは問題を解いていきます。

$z=3+2i$ なので、共役複素数は $\overline{z}=3-2i$ ですね。

まず $z+\overline{z}$ を計算します。

虚数部分が打ち消し合って、実部の$2$倍になったね。これが性質$\text{(1)}$だよ。

次に $z\cdot\overline{z}$ を計算します。

和と差の積の公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ が使えるんですね！

その通り！$z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2$ となるんだ。

結果は必ず$0$以上の実数になるよ。

よって、$z+\overline{z}=\underline{6}$, $\;z\cdot\overline{z}=\underline{13}$ となります。

解の公式を使って解いていきましょう。

つまり、$2$つの解は $x=2+3i$ と $x=2-3i$ です。

$2+3i$ と $2-3i$ は虚数部分の符号だけが異なるよね。これはまさに共役複素数の関係だね！

実数係数の方程式だと必ずこうなるんですか？

そうだよ。実数係数の方程式が虚数解を持つとき、その共役複素数も必ず解になるんだ。これは重要な性質だよ。

ちなみに、$(1)$の結果と$(2)$を見比べてみよう。

$(2)$の方程式 $x^2-4x+13=0$ の$2$解を $\alpha=2+3i$, $\beta=2-3i$ とすると、解と係数の関係から $\alpha+\beta=4$, $\;\alpha\beta=13$ だよね。

これは$(1)$で確認した $z+\overline{z}=2a$, $\;z\cdot\overline{z}=a^2+b^2$ と一致しているね！

なるほど！共役複素数の性質と解と係数の関係がつながっているんですね！

ここでは共役複素数の性質について学習しました。

$z+\overline{z}=2a$（実部の$2$倍）と $z\cdot\overline{z}=a^2+b^2$（絶対値の$2$乗）は特に重要です。

また、実数係数の方程式の虚数解は共役ペアで現れることもしっかり覚えておきましょう！