集合の基本

問題

全体集合を$U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$とし、その部分集合を$A=\{1, 2, 3, 4, 6\}$、$B=\{2, 4, 6, 8, 10\}$とする。

$(1)\quad$ $A \cap B$、$A \cup B$、$\overline{A}$ をそれぞれ求めよ。

$(2)\quad$ $\overline{A \cap B}$ と $\overline{A} \cup \overline{B}$ をそれぞれ求め、両者が等しいことを確認せよ。

解説

集合の基本的な概念と演算について解説します。

集合ってそもそもどういうものですか？

集合とは、ある条件によってはっきり定まるもの（要素）の集まりのことだよ。

例えば「$10$以下の正の偶数の集合」は$\{2, 4, 6, 8, 10\}$と表せるね。

それでは問題を解いていきましょう。

まずはベン図を使って、$A$と$B$の要素を整理してみよう。

全体集合$U=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$の中で、$A=\{1, 2, 3, 4, 6\}$と$B=\{2, 4, 6, 8, 10\}$を整理すると次のようになります。

ベン図にすると、どの要素がどこに属するか一目でわかりますね！

その通り！ベン図は集合の問題を解くときにとても便利なんだ。それでは順番に求めていこう。

まず$A \cap B$（共通部分）を求めます。$A$にも$B$にも属する要素を探すと、$2, 4, 6$が共通しています。

よって $A \cap B = \underline{\{2, 4, 6\}}$

次に$A \cup B$（和集合）を求めます。$A$または$B$の少なくとも一方に属する要素を全て集めます。

よって $A \cup B = \underline{\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10\}}$

ここで要素の個数に注目してみよう。$n(A)=5$、$n(B)=5$、$n(A \cap B)=3$、$n(A \cup B)=7$ だね。

$n(A)+n(B)=10$ですが、$n(A \cup B)=7$で一致しません。なぜですか？

いい質問だね！単純に足すと共通部分を$2$回数えてしまうからだよ。だから共通部分の分を引く必要があるんだ。

実際に確認すると、$n(A \cup B) = 5 + 5 - 3 = 7$ となり一致しますね。

最後に$\overline{A}$（$A$の補集合）を求めます。全体集合$U$の要素のうち、$A$に属さないものを集めます。

$A=\{1, 2, 3, 4, 6\}$なので、$U$から$A$の要素を除くと

よって $\overline{A} = \underline{\{5, 7, 8, 9, 10\}}$

$(2)$は「ド・モルガンの法則」に関する問題だよ。まずは具体的に計算して確認してみよう。

まず$\overline{A \cap B}$を求めます。$(1)$で$A \cap B = \{2, 4, 6\}$と分かっているので、その補集合を求めると

次に$\overline{A} \cup \overline{B}$を求めます。

$(1)$で$\overline{A} = \{5, 7, 8, 9, 10\}$と求めました。

同様に$\overline{B}$を求めると、$B=\{2, 4, 6, 8, 10\}$なので$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

よって$\overline{A} \cup \overline{B} = \{5, 7, 8, 9, 10\} \cup \{1, 3, 5, 7, 9\} = \underline{\{1, 3, 5, 7, 8, 9, 10\}}$

本当だ！$\overline{A \cap B}$と$\overline{A} \cup \overline{B}$が同じ集合になりました！

これは偶然ではないんだ。「ド・モルガンの法則」として、常に成り立つ性質なんだよ。

覚え方のコツはありますか？

補集合をとるとき、$\cap$と$\cup$が入れ替わると覚えよう。

ベン図を描いて確認すると理解しやすいよ。

ベン図で$\overline{A \cap B}$を確認してみましょう。$A \cap B$（共通部分）以外の部分が色づけされます。

確かに$\overline{A} \cup \overline{B}$と同じ領域になっていることがわかりますね。

ここでは集合の基本について学習しました。

集合の演算（$\cap$、$\cup$、$\overline{\phantom{A}}$）とベン図の使い方は、確率や論理の分野でも非常に重要です。

特にド・モルガンの法則と$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$の公式はよく使うので、しっかり覚えておきましょう！