命題と条件

問題

実数 $x$ に関する次の条件 $p$, $q$ について、$p$ は $q$ の何条件か。下の$(\text{ア})$~$(\text{エ})$の中から選べ。

$(\text{ア})$ 必要十分条件

$(\text{イ})$ 十分条件であるが必要条件ではない

$(\text{ウ})$ 必要条件であるが十分条件ではない

$(\text{エ})$ 必要条件でも十分条件でもない

解説

命題と条件について解説します。

必要条件と十分条件って、いつもどっちがどっちか混乱してしまいます...

大丈夫！集合の包含関係で考えるとすっきりするよ。まずは基本から確認しよう。

まず、$\textbf{命題}$とは「正しいか正しくないかが明確に定まる文」のことです。例えば「$2$は偶数である」は正しいので$\textbf{真}$の命題、「$3$は偶数である」は正しくないので$\textbf{偽}$の命題です。

数学では「$p \Rightarrow q$」（$p$ならば$q$）の形で命題を表します。

矢印の根元が十分条件で、矢印の先が必要条件なんですね！

その通り！さらに、条件は$\textbf{集合}$で考えると分かりやすいよ。条件 $p$ を満たすものの集合を $P$、条件 $q$ を満たすものの集合を $Q$ とすると、$P \subset Q$（$P$が$Q$の部分集合）のとき$p \Rightarrow q$ は真になるんだ。

では問題を解いていきましょう。

まず、それぞれの条件を満たす集合を求めます。

$P = \{1\}$（$x=1$を満たす$x$の集合）

$Q = \{1, -1\}$（$x^2=1$を満たす$x$の集合）

$P \subset Q$ なので $p \Rightarrow q$ は真です。一方、$Q \not\subset P$（$-1 \in Q$ だが $-1 \notin P$）なので $q \Rightarrow p$ は偽です。

問題は「$p$ は $q$ の何条件か」と聞いているから、$p$ に注目しよう。$p \Rightarrow q$ は真だから $p$ は $q$ の十分条件だね。一方 $q \Rightarrow p$ は偽だから $p$ は $q$ の必要条件ではないよ。

よって、$p$は$q$の $\underline{\text{十分条件であるが必要条件ではない} \;(\text{イ})}$ です。

条件を満たす集合を求めます。

$x^2-3x+2=0$ を因数分解すると $(x-1)(x-2)=0$ より $x=1, 2$ です。

$P = \{1, 2\}$, $\quad Q = \{1\}$

$Q \subset P$ なので $q \Rightarrow p$ は真ですが、$P \not\subset Q$（$2 \in P$ だが $2 \notin Q$）なので $p \Rightarrow q$ は偽です。

$p \Rightarrow q$ は偽だから $p$ は $q$ の十分条件ではないね。$q \Rightarrow p$ は真だから $p$ は $q$ の必要条件だよ。

よって、$p$は$q$の $\underline{\text{必要条件であるが十分条件ではない} \;(\text{ウ})}$ です。

不等式の場合は数直線で集合の包含関係を考えましょう。

$P = \{x \mid x>3\}$, $\quad Q = \{x \mid x>0\}$

$x>3$ を満たす $x$ は必ず $x>0$ も満たすので $P \subset Q$ です。よって $p \Rightarrow q$ は真です。

一方、$x=1$ は $x>0$ を満たしますが $x>3$ を満たさないので、$q \Rightarrow p$ は偽です。

集合が小さい方（条件が厳しい方）が十分条件になるんですね！

いいところに気づいたね！条件が厳しい（集合が小さい）方は、相手の条件を満たすのに「十分」だから十分条件になるんだ。

よって、$p$は$q$の $\underline{\text{十分条件であるが必要条件ではない} \;(\text{イ})}$ です。

ここでは命題と条件の基本、そして必要条件・十分条件の判定方法について学習しました。

ポイントは$2$つの命題 $p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ の真偽を調べ、集合の包含関係で考えることです。

「小さい集合の条件が十分条件、大きい集合の条件が必要条件」と覚えておくと便利ですよ！