分散と標準偏差

問題

次のデータの分散$s^2$と標準偏差$s$を求めよ。

解説

分散と標準偏差の問題について解説していきます。

まずは、分散と標準偏差の公式についておさらいしましょう。

分散とは、データが平均値からどれくらい散らばっているかを表す値だよ。

各データと平均値の差（偏差）を$2$乗して平均したものが分散なんだ。分散が大きいほどデータはバラバラに散らばっていて、小さいほど平均値の近くに集まっていることを意味するよ。

分散とか標準偏差とか、何のためにこんな値求めるんですか？

いきなりこんな値を求めさせられても、何のために求めるのかよくわからないよね。

まずは、「データの分析」という単元の名前について注目してみてほしいんだ。

「データの分析」というよう単元名からも分かる通り、この分野ではあるデータを「分析」していきます。

「与えられたデータ」を分析して何かの「指標」としたり他のデータと比較したりすることは、世の中で多く行われており重要です。

標準偏差と分散について学ぶことで、データの分析の最も基礎となっている部分を理解することができます。

それでは問題を解いていきましょう。

分散を求めていきましょう。

分散って求め方が2つありますが、どっちを使えばいいんですか？

どちらでも求められるけれど、データの値に小数が入っている場合は(2乗の平均)-(平均の2乗)の方を使うのがオススメだよ。

検算のために両方の方法で計算するのも良いね。

どちらの方法を用いるにしても、データの平均値は必ず使うのでまずは平均値$(\bar x)$を求めましょう。

$\bar x = \frac{4+8+11+1+7+5}{6}=6$より、1つ目の公式を使うと$s^2=\frac{1}{6}\{(4-6)^2+(8-6)^2+(11-6)^2$ $+(1-6)^2+(7-6)^2+(5-6)^2\}$ $=\frac{1}{6} \times 60 = 10$となります。

2つ目の方法を使うと、

$s^2=\frac 1 6 (4^2+8^2+11^2+1^2+7^2+5^2)-6^2$ $=\frac 1 6 \times 276 -36 =10$となり、同じように求めることができますね。

標準偏差は分散の値の正の平方根なので、$\sqrt{s^2}=\sqrt{10}$となります。

よって、答えは$\underline{分散s^2 =10, 標準偏差s=\sqrt{10}}$となります。

先ほどと同じように求めていきましょう。

平均値は $\bar x = \frac{7+10+5+11+16+8+6}{7}=9$

1つ目の公式で計算すると、$s^2=\{ (7-9)^2+(10-9)^2+(5-9)^2$$+(11-9)^2+(16-9)^2+(8-9)^2+(6-9)^2 \}$ $=\frac 1 7 \times 84 = 12$

となるので、標準偏差は$s=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$と求められます。

よって、答えは$\underline{分散s^2 =12, 標準偏差s=2 \sqrt{3}}$となります。

ここでは、分散と標準偏差の求め方について学習しました。

この単元は、公式をしっかりと使えこなせれば確実に解くことができます。

計算ミスをしないように気をつけましょう！