四分位数・四分位範囲

問題

次のデータの四分位数（第$1$四分位数$Q_1$、中央値$Q_2$、第$3$四分位数$Q_3$）を求めよ。

$(2)\quad 1, 3, 5, 6, 8, 9, 11$ の四分位数と四分位範囲を求めよ。

解説

四分位数と四分位範囲の問題について解説していきます。

四分位数って何ですか？

四分位数とは、データを小さい順に並べたとき、全体を$4$等分する位置にある値のことだよ。

まずは定義を確認しよう！

それでは問題を解いていこう！

まずはデータの個数を確認しよう。このデータは$n=8$個で、すでに小さい順に並んでいるね。

データが偶数個$(n=8)$のとき、中央値$Q_2$は$4$番目と$5$番目のデータの平均値になります。

次に、中央値$Q_2$を境にデータを前半と後半に分けます。

• 前半（$1$番目～$4$番目）：$2, 4, 5, 7$

• 後半（$5$番目～$8$番目）：$8, 10, 12, 15$

$Q_1$は前半$4$個の中央値なので、$2$番目と$3$番目の平均をとります。

$Q_3$は後半$4$個の中央値なので、$2$番目と$3$番目の平均をとります。

偶数個のときは前半と後半をちょうど半分に分ければいいんですね！

その通り！偶数個のときは真ん中で分けやすいから計算しやすいよ。

次は奇数個のデータで四分位範囲も求めてみよう。

データの個数は$n=7$個（奇数個）で、すでに小さい順に並んでいます。

奇数個の場合、中央値$Q_2$はちょうど真ん中の値になります。$7$個のデータなので$4$番目が中央値です。

奇数個のとき、中央値を前半と後半のどちらに入れるんですか？

いい質問だね！奇数個のときは、中央値自身はどちらにも含めないで前半・後半を分けるよ。

中央値$(Q_2 = 6)$を除いて前半と後半に分けます。

• 前半（$1$番目～$3$番目）：$1, 3, 5$

• 後半（$5$番目～$7$番目）：$8, 9, 11$

$Q_1$は前半$3$個の中央値（$2$番目の値）なので、

$Q_3$は後半$3$個の中央値（$2$番目の値）なので、

四分位範囲は$Q_3 - Q_1$で求められます。

四分位範囲は箱ひげ図の「箱の幅」にあたるよ。

データのばらつきを見る重要な指標なんだ。

箱ひげ図と四分位数はセットで覚えるといいんですね！

その通り！参考までに、$(2)$のデータを箱ひげ図にするとこうなるよ。

箱ひげ図では、箱の左端が$Q_1$、箱の中の線が$Q_2$（中央値）、箱の右端が$Q_3$を表しています。

ここでは、四分位数$(Q_1, Q_2, Q_3)$の求め方と四分位範囲$(IQR)$について学習しました。

データが偶数個のときと奇数個のときで、前半・後半の分け方が少し違う点に注意しましょう。

四分位数は箱ひげ図の基礎になる重要な概念なので、しっかりマスターしてくださいね！