代表値

問題

$(1)\quad$ データ $3, 5, 7, 8, 12$ の平均値と中央値を求めよ。

$(2)\quad$ データ $2, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 8, 10, 100$ の平均値と中央値を求めよ。

$(3)\quad$ $30$人の生徒にアンケートを行い、$1$日の勉強時間（時間）を調べたところ、次の度数分布表を得た。最頻値を求めよ。

解説

代表値の問題について解説していきます。

代表値って何ですか？

代表値とは、データ全体の特徴を$1$つの数値で表したものだよ。

代表値にはいくつか種類があるので、それぞれ確認していこう！

それでは問題を解いていきましょう。

まず平均値を求めます。データの値をすべて足して、個数で割ればOKです。

次に中央値を求めます。データを大きさの順に並べると、

データの個数は$5$個（奇数）なので、真ん中の$3$番目の値が中央値です。

よって中央値は$\underline{7}$です。

この場合は平均値と中央値がたまたま同じ値になったね。

でも、いつも同じになるわけではないよ。次の問題を見てみよう！

まず平均値を求めましょう。

次に中央値を求めます。データはすでに大きさの順に並んでいます。

データの個数は$10$個（偶数）なので、真ん中の$5$番目と$6$番目の値の平均が中央値です。

あれ？平均値が$14.8$なのに中央値が$5$って、だいぶ違いますね...？

いいところに気づいたね！この違いは$100$という$\textcolor{red}{外れ値}$が原因なんだ。

平均値は外れ値の影響を大きく受けるけれど、中央値はほとんど影響を受けないよ。

今回の例では、ほとんどのデータが$2$から$10$の間にあるよね。

中央値$5$の方が「データの中心」をよく表しているといえるね。

最頻値は、最も度数が大きい値です。

度数分布表を見ると、各値の度数は以下のようになっています。

• $1$時間：$3$人

• $2$時間：$5$人

• $3$時間：$\textcolor{red}{10}$人 ← 最も多い

• $4$時間：$8$人

• $5$時間：$4$人

度数が最も大きいのは$3$時間の$10$人なので、最頻値は$\underline{3}$時間です。

平均値・中央値・最頻値って、どう使い分ければいいんですか？

いい質問だね！状況に応じて使い分けるのがポイントだよ。

平均値は全体を均等に見たいとき、中央値は外れ値がある場合、最頻値は「最も多い値」を知りたいときに使うよ。

ここでは代表値（平均値・中央値・最頻値）について学習しました。

平均値は外れ値に敏感で、中央値は外れ値に強いという違いを押さえておきましょう。

問題で「どの代表値が適切か」を聞かれることもあるので、それぞれの特徴を理解しておくことが大切です！