相関係数

問題

次の表は、$6$人の生徒の数学と理科のテストの得点である。

$(1)\quad$ このデータの散布図を描き、$x$と$y$の間にどのような相関があるか答えよ。

$(2)\quad$ $x$と$y$の共分散$s_{xy}$を求めよ。

$(3)\quad$ $x$と$y$の相関係数$r$を求めよ。

解説

相関係数の問題について解説します。

まず、$2$種類のデータの関係を調べる方法について見ていきましょう。

「$2$種類のデータの関係を調べる」ってどういうことですか？

例えば、「数学の点数が高い人は理科の点数も高い傾向があるのか？」ということを数値で調べるんだよ。

そのための道具が散布図、共分散、相関係数だよ。

相関係数の値はどう読み取ればいいですか？

目安として、$|r| \geqq 0.7$なら強い相関、$0.4 \leqq |r| < 0.7$ならやや相関あり、$|r| < 0.4$ならほとんど相関なしと判断するよ。

それでは、問題を解いていきましょう。

与えられたデータを座標平面上にプロットします。

散布図を見ると、右上がりの傾向があるね。つまり数学の点数が高い人は理科の点数も高い傾向があるよ。

散布図が右上がりの傾向を示しているので、$x$と$y$の間には$\textcolor{red}{\text{正の相関}}$があります。

共分散を求めるには、まず平均値を計算します。

次に、偏差（各データから平均を引いた値）の表を作ろう。この表を使うと計算がスムーズだよ！

各データの偏差を計算して表にまとめましょう。

3行目の合計は $9+1+0+4+16+0=30$ なので、

共分散が正の値だから、正の相関があるということですね！

その通り！共分散が正なら正の相関、負なら負の相関だよ。ただし共分散だけでは相関の強さがわかりにくいから、相関係数を使うんだ。

相関係数は $r=\dfrac{s_{xy}}{s_x \cdot s_y}$ で求めます。$(2)$で $s_{xy}=5$ を求めたので、あとは $s_x$ と $s_y$ を計算しましょう。

先ほどの偏差の表に、$(x_i-\bar{x})^2$ と $(y_i-\bar{y})^2$ の行を追加します。

あれ、$s_x^2$と$s_y^2$が同じ値になりました！

偶然だけど、計算が楽になるね！$s_x=s_y$だから、$s_x \cdot s_y = s_x^2 = \dfrac{17}{3}$ だよ。

よって、相関係数は

$\dfrac{15}{17} \fallingdotseq 0.88$ であり、$1$にかなり近い値です。

相関係数が約$0.88$ということは、数学と理科の間に強い正の相関があるということだね。数学の点数が高い人は理科の点数も高い傾向が強いよ。

散布図に回帰直線（データの傾向を表す直線）を重ねると、相関の強さが視覚的にもよくわかります。

ここでは、散布図・共分散・相関係数について学習しました。

相関係数を求めるには、偏差の表を丁寧に作ることがポイントです。計算量が多いので、表を活用してミスなく解きましょう！

また、相関係数は「$2$つの変量の間の直線的な関係の強さ」を表す値であり、$-1 \leqq r \leqq 1$ の範囲をとることを覚えておいてくださいね。