三角形の解法

問題

次の各場合について、$\triangle ABC$の残りの辺や角を求めよ。

$(1)\quad b=4,\; c=5,\; A=60°$のとき、$a$を求めよ。

$(2)\quad a=6,\; A=30°,\; B=60°$のとき、$b$と$c$を求めよ。

$(3)\quad a=5,\; b=4,\; c=6$のとき、$\cos A$を求めよ。

$(4)\quad a=3\sqrt{3},\; b=3,\; B=30°$のとき、$A$を求めよ。

解説

三角形の辺や角を求める問題について解説します。

正弦定理と余弦定理、どっちを使えばいいか分からないです...

いい質問だね！実は、与えられた情報によって使い分けるパターンがあるんだ。

一緒に確認していこう！

これは「2辺とその間の角」のパターンだね。余弦定理を使おう！

余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$に代入すると、

$a>0$より、$a=\underline{\sqrt{21}}$

「間の角」というのがポイントなんですね！

その通り！2辺$b,c$の間の角が$A$だから、$a$を求める余弦定理がそのまま使えるんだ。

これは「1辺と2角」のパターンだね。正弦定理を使おう！

まず、残りの角$C$を求めよう。

正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$より、

$\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$なので、

これは「3辺」のパターンだね。余弦定理を使って角を求めよう！

余弦定理$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$を$\cos A$について解くと、

約分を忘れないようにしないと！

そうだね。$\frac{27}{48}$の最大公約数は3だから、$\frac{9}{16}$になるよ。

これは「2辺と対角」のパターンで、少し注意が必要だよ。

なぜ注意が必要なんですか？

2辺と対角のパターンでは、解が2つ存在することがあるんだ。

正弦定理を使うと$\sin$の値から角度を求めるけど、$0°<A<180°$で$\sin A$の値が同じになる角が2つある場合があるからね。

正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$より、

$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす$A$は、$0°<A<180°$の範囲で2つあるよ。

$A=60°$（鋭角）と$A=120°$（鈍角）だね。

でも、三角形として成り立つかどうかを確認する必要がありますよね？

その通り！$A+B<180°$を確認しないといけないね。

$B=30°$だから、$A<150°$であれば三角形として成り立つよ。

鋭角解$A=60°$の場合：$60°+30°=90°<180°$ ... OK

鈍角解$A=120°$の場合：$120°+30°=150°<180°$ ... OK

両方とも成り立つんですね！

そう！この問題では解が2つあるんだ。

答えは$A=\underline{60°}$または$A=\underline{120°}$だよ。

ただし、$a<b$（つまり対角の大きさも$A<B$）となるべき場合は鋭角解のみが適となるよ。

この問題では$a=3\sqrt{3}>b=3$なので、$A>B=30°$が必要だけど、両方の解とも条件を満たすね。

ここでは三角形の辺・角を求める問題について学習しました。

正弦定理と余弦定理の使い分けをマスターしましょう：

• 2辺とその間の角 $\rightarrow$ 余弦定理

• 1辺と2角 $\rightarrow$ 正弦定理

• 3辺 $\rightarrow$ 余弦定理

• 2辺と対角 $\rightarrow$ 正弦定理（解が2つの可能性に注意！）

特に「2辺と対角」のパターンでは解が2つになることがあるので、三角形として成り立つかどうかを必ず確認してくださいね！