行列の足し算や引き算は、どの成分どうしを計算するの？

行列の基本では、行列とグラフ理論について、答えを先に見てから考え方を順に追える形で整理しています。詳しくはこのページの解説と関連ページをご覧ください。

行列の形が違うと足せないのはなぜ？

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行列計算で符号ミスしやすいところを教えて

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行列の基本の解き方 | 数学Cの学習ノート

このページのまとめ

先に押さえておくこと

行列の基本の要点をまとめたページです。先に答えを確認してから、解き方とつまずきやすい点を順にたどれます。

答えの要点

行列の定義と演算の答えと条件を先に確認できます。

テーマ: 行列の定義と演算
ポイント: 行列とグラフ理論の基礎を短く確認しやすく、検索から入ってもそのまま理解まで進めやすい記事です。
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問題

行列 $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ について、次の計算をせよ。

(1)\quad A+B

(2)\quad 3A-2B

(3)\quad AB

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(1)\; A+B=\underline{\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}}

(2)\; 3A-2B=\underline{\begin{pmatrix} 8 & -5 \\ 9 & -7 \end{pmatrix}}

(3)\; AB=\underline{\begin{pmatrix} -2 & 10 \\ -3 & 10 \end{pmatrix}}

解説

行列の基本的な演算について解説します。

行列ってなんですか？

行列とは、数を $\textcolor{red}{長方形の形}$ に並べたもののことだよ。

横の並びを $\textcolor{red}{行}$ 、縦の並びを $\textcolor{red}{列}$ と呼ぶんだ。

今回の問題では $A$ も $B$ も $2 \times 2$ 行列（ $2$ 次の正方行列）ですね。

それでは行列の演算のルールを確認してから、問題を解いていきましょう。

$(1)\quad A+B$ を求めよ。（ $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ ）

加法は同じ位置の成分同士を足せばよいので、

A+B=\begin{pmatrix} 2+(-1) & 1+4 \\ 3+0 & -1+2 \end{pmatrix}

=\underline{\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}}

ベクトルの加法と同じ考え方だね。成分ごとに計算すればOKだよ。

$(2)\quad 3A-2B$ を求めよ。

スカラー倍を先に計算してから引き算します。

3A-2B=3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

=\begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 9 & -3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -2 & 8 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

=\underline{\begin{pmatrix} 8 & -5 \\ 9 & -7 \end{pmatrix}}

$-(-2)=+2$ のところ、符号を間違えそうです...

そうだね。スカラー倍した後の引き算は $\textcolor{red}{符号ミス}$ が起きやすいから、一つ一つ丁寧に計算しよう！

$(3)\quad AB$ を求めよ。

行列の積は加法やスカラー倍とは違って、少し複雑だよ。

$\textcolor{red}{左の行}$ と $\textcolor{red}{右の列}$ の内積を計算するイメージだね。

$(1,1)$ 成分は $A$ の第 $1$ 行と $B$ の第 $1$ 列の内積で求めます。

AB=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}

=\begin{pmatrix} 2 \cdot (-1)+1 \cdot 0 & 2 \cdot 4+1 \cdot 2 \\ 3 \cdot (-1)+(-1) \cdot 0 & 3 \cdot 4+(-1) \cdot 2 \end{pmatrix}

=\underline{\begin{pmatrix} -2 & 10 \\ -3 & 10 \end{pmatrix}}

$BA$ も同じ結果になるんですか？

いい質問だね！実は $BA$ を計算すると $\begin{pmatrix} 10 & -5 \\ 6 & -2 \end{pmatrix}$ になって、 $AB$ とは異なるんだ。

つまり一般に $\textcolor{red}{AB \neq BA}$ （行列の積は交換法則が成り立たない）ということだよ。

行列の積では交換法則が成り立たないことは非常に重要なポイントです。覚えておきましょう。

最後に、行列の演算で大切な $\textcolor{red}{単位行列}$ と $\textcolor{red}{逆行列}$ についても紹介します。

$ad-bc$ って何か意味があるんですか？

$ad-bc$ は $\textcolor{red}{行列式}$ と呼ばれる値で、 $|A|$ や $\det(A)$ と書くよ。

行列式が $0$ のとき逆行列は存在しないんだ。

数の割り算で $0$ で割れないのと似ているね。

このページのまとめ

ここでは行列の定義と基本的な演算（加法・スカラー倍・積）について学習しました。

行列の積では $\textcolor{red}{交換法則が成り立たない}$ （ $AB \neq BA$ ）ことが最も重要なポイントです。

単位行列や逆行列の概念もしっかり押さえて、次のステップに進んでくださいね！

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